Flusso concatenato e coefficiente di autoinduzione

Circuiti elementari C1  e C2 costituiti da due spire chiuse

[ Figura 5 ]

Si considerino due circuiti elementari C₁ e C₂ costituiti da due spire chiuse poste in vicinanza l’una rispetto all’altra come riportato in Figura 5. Se una corrente I₁ circola in C₁, un campo magnetico si concatena con C₂, passando attraverso la superficie S₂ delimitata dal contorno C₂, avremo dunque che nella spira C₂ si andrà a concatenare un flusso magnetico generato dalla corrente I₁, tale flusso sarà rapi a:

Ф₁₂ = B*S₂

Il flusso mutuo, variabile nel tempo, andrà a concatenarsi con il percorso chiuso C₂, avremo dunque che in quest’ultimo si andrà a generare una corrente indotta che dipenderà dal flusso concatenato. Dalla legge di Faraday avremo dunque la presenza di una forza elettromotrice che giustifica la corrente in C₂, tale f.e.m sarà pari alle variazioni del flusso concatenato Ф₁₂ nel tempo, preceduta dal segno meno. Per la legge di Biot-Savart il flusso concatenato sarà proporzionale a I₁ il tutto legato dal coefficiente di mutua induttanza tra due spire L₁₂:

Ф₁₂ = L₁₂*I₁

Fino adesso abbiamo considerato una sola spira per semplificare il problema e rendere la trattazione immediata. Considerando adesso N₂ spire avremo per il C₂ che il flusso concatenato dovuto a Ф₁₂ sarà pari a Фc₁₂ = N₂ Ф₁₂. E’ facile calcolare il coefficiente di mutua induzione dalla [8] pari a: 

L₁₂ = Фc₁₂/ I₁

Non dimentichiamo che il coefficiente di autoinduzione L o anche L₁₁ dipende dal flusso generato dalla corrente variabile I₁ e dunque dal flusso magnetico concatenato con la bobina stessa (in questo caso C₁), otterremo: 

L₁₁ = Фc₁₁/ I₁

Il concetto precedentemente esposto può essere visto cambiando il riferimento e considerando il percorso chiuso C₂, si andranno ad ottenere gli stessi risultati semplicemente con pedice opposto, i concetti fisici sono comunque immutati: 

L₂₁ = Фc₂₁/ I₂    L₂₂ = Фc₂₂/ I₂

Tornando al precedente concetto si può dimostra come L₁₂ = L₂₁ =M, essendo M il coefficiente di mutua induzione, ossia il rapporto tra flussi concatenati e le rispettive correnti. Quando si ha un accoppiamento perfetto per cui i flussi dispersi sono nulli, ossia quando i flussi mutuamente concatenati coincidono con i flussi totali, (bobine concentriche perfettamente serrate), risulta che (tralasciando la dimostrazione che porta a tale risultato):  

L₁L₂ = M₂ [8]

In generale non si avrà mai un accoppiamento perfetto, dunque dei flussi dispersi perfettamente nulli, per tal motivo la [8] non risulterà un’uguaglianza ma una disuguaglianza. 

Per ultimo diamo una definizione prima di passare alla parte attutiva. Si definisce coefficiente di accoppiamento K:

K = ± M/√(L₁L₂)  con K = 0÷1 

Il segno dipende dal senso di avvolgimento delle spire e dal verso delle correnti. La tensione indotta di mutua induzione può essere concorde o discorde con la tensione di autoinduzione, cioè con la tensione indotta in un circuito dal flusso magnetico variabile prodotto dall'intensità di corrente circolante nel circuito stesso. Quindi il segno di M può essere sia positivo: quando le tensioni indotte di mutua induttanza sono concordi con le tensioni di autoinduttanza, che negativo: quando le tensioni indotte di mutua induttanza sono discordi con le tensioni di autoinduttanza.

Filtro secondo ordine passa basso passa alto simmetrici

[ Figura 6 ]

Tale concetto all’apparenza parecchio complicato verrà compreso a pieno grazie alle prove eseguite realizzando due filtri del secondo ordine, passa basso e passa alto perfettamente simmetrici (Figura 6), su carico ideale da 8 Ohm,  che ci permetteranno, grazie alle differenti disposizioni dei due induttori di verificare quanto pesa l’aliquota di flusso concatenato, fra una bobina e l’altra, sulla frequenza di taglio e di riflesso sulla risposta totale ottenuta. Le due bobine che realizzano i due filtri sono entrambe da 1,8 mH (filo da 1 mm) avvolte su nucleo di ferrite. Partendo dalla condizione ideale, ovvero una distanza di circa 20 cm fra un induttore e l’altro vediamo la risposta di entrambi i filtri e la totale in Figura 7. 

Test e Misure su differenti configurazioni delle bobine

Misura induttori distanza ideale 20 cm

[ Figura 7 ]

I filtri entrambi del secondo ordine, realizzati in modo simmetrico presentano una frequenza di incrocio a circa 2,1 kHz, in rosso la risposta del filtro passa basso su carico resistivo da 8 Ohm con relativa fase in grigio. Rispettivamente avremo lo stesso filtro ma con componenti invertiti per il passa alto, in blu il modulo della risposta ed in viola la fase. Per quest’ultimo è stata invertita la fase elettrica in modo da ottenere la risposta totale in verde, perfettamente lineare su tutta la banda. La misura, eseguita con segnale di circa 2.83 Vrms è puramente indicativa, lo scopo di quest’ultima è a titolo esplicativo al fine di indagare sul fenomeno in oggetto e niente più. Chiaro che se avessimo condotto tali esperimenti su un carico reale e non ideale avremmo ottenuto risultati differenti dettati dalla non idealità presentata da un altoparlante in termini di impedenza rispetto ad un resistore, ma in termini fenomenologici strettamente legati al crosstalk fra induttori nulla sarebbe cambiato. 

Misura induttori distanza 0 cm

[ Figura 8 ]

Se la Figura 7 mostra il caso ideale in termini di dislocazione degli induttori e dunque di coefficiente di accoppiamento K in questo caso prossimo allo 0, la Figura 8 ci mostra l’esatto contrario. In questo ultimo caso le due bobine sono state disposte in maniera concentrica rispetto l’asse verticale ovvero una sull’altra. L’effetto, visibile in Figura 8 è palesato, in maniera evidente, nella risposta in modulo e fase del filtro passa alto. Nell’intorno di 1.5 kHz si forma un avvallamento, come se a quella frequenza fosse stata centrata una cella di equalizzazione atta a correggere la risposta, inoltre il valore dell’induttanza aumenta portando ad una variazione della frequenza di taglio ed a una variazione del Q del filtro che diminuisce all’aumentare di L. Effettivamente dando uno sguardo alla Figura 8 tutto ciò che è stato descritto si riflette sulla curva in verde chiaro.  

Misura induttori distanza 4 cm

[ Figura 9 ]

I due casi limite precedentemente esposti non sono altro che gli estremi di banda di una moltitudine di prove intermedie che possono essere svolte avvicinando sempre più le due bobine fra di esse. I casi intermedi apprezzabili al fine della prova sono due: distanza 4 cm dall’interasse verticale e bobine perfettamente allineate come visibile in Figura 9. La curva in rosso (modulo risposta passa basso) che si scorge a circa 15kHz e la curva in verde chiaro (modulo risposta passa alto) con rispettive fasi in grigio e arancio, rappresentano le risposte in modulo e fase nel caso di distanza interasse 4 cm. Le restanti curve in viola (modulo risposta passa basso) ed in blu (modulo risposta passa alto) rappresentano la seconda condizione di disposizione delle bobine (in alto a destra della Figura 9). Nella Figura 9 non sono state plottate le fasi per quest’ultimo caso poiché le variazioni erano ininfluenti. L’influenza del flusso concatenato si comincia a far sentire già da una distanza d’interasse di 4 cm dove la risposta totale in verde manifesta le prime avvisaglie di cedimenti rispetto la linearità. Si è dunque nel caso intermedio di coefficiente di accoppiamento compreso fra 0 e 1.  

Mutua induttanza

[ Figura 10 ]

Prima di continuare con gli ultimi grafici è bene notare quanto segue: la disposizione degli induttori comporta sicuramente un accoppiamento di flusso fra i due componenti più o meno marcato in dipendenza della dislocazione fisica e dall’aliquota di flusso disperso. E’ bene tenere a mente il coefficiente di mutua induttanza M calcolato nella [8] esso, come detto, può essere positivo o negativo dunque aumentare o diminuire in relazione al verso di percorrenza della corrente fra i due induttori. La Figura 10 riassume il concetto. 

La mutua induttanza tra due circuiti mutuamente accoppiati è positiva quando le correnti che attraversano le due induttanze sono entrambe entranti in corrispondenza dei rispettivi pallini,  M è negativa nel caso contrario. 

Abbiamo visto due ingredienti distinti ma facenti parte della stessa pietanza: la M dipende dal verso di percorrenza del segnale; l’aliquota di flusso concatenato dipende dalla dislocazione geometrica ovvero dalla disposizione degli induttori nello spazio, fenomeni distinti ma strettamente correlati l’uno all’altro. 

Misura induttori bobina ruotata 90

[ Figura 11 ]

Misura induttori bobina ruotata 90 asse x

[ Figura 12 ]

Le Figure 11 e 12 aiutano a comprendere quanto detto in precedenza. Poiché il fenomeno su cui stiamo indagando manifesta i suoi sintomi in maniera marcata sul filtro passa alto, per comodità visiva la Figura 11 e 12 rappresentano i soli moduli e fasi del filtro passa alto. Nella Figura 11 è raffigurata la geometria di dislocazione delle due bobine poste ortogonalmente rispetto l’asse verticale, inoltre la seconda bobina viene ruotata di 90° rispetto il piano xy. Con questo geometria spaziale si ottiene, considerando un flusso disperso modesto, un concatenamento del flusso fra i due induttori di minima entità, questo poiché l’andamento del flusso delle due bobine (aventi campi magnetici ortogonali) in tale posizione, non agevole il concatenamento. 

I più attenti avranno notato che le curve nella Figura 11 sono tre, la rossa (il riferimento, preso ad una distanza di 20 cm, ovvero risposta ideale a cui rapporteremo le altre curve) la verde e l’arancio con rispettive risposte in fase: grigio, verde chiaro e blu. Le prime due risposte in rosso e verde sono pressoché sovrapponibili anche le fasi sono quasi identiche. La curva in verde è stata rilevata mantenendo la geometria e considerando il verso entrante della corrente da A a B per entrambi gli induttori. Invertendo il senso di percorrenza della corrente per l’induttore a sinistra (Figura 11) dunque da B ad A si ottengono le risposte di modulo e fase rispettivamente in arancio e blu. Il modulo non subisce variazioni degne di nota, la fase invece evidenzia una cospicua variazione dai 500 Hz in giù. Tali variazioni da imputare ad una inversione di percorrenza del segnale rispetto alle precedenti configurazioni che inevitabilmente porta ad una variazione del coefficiente di mutua induzione M che in questo caso sembra crescere rispetto alle configurazioni precedenti e far variare il valore di induttanza della bobina facente parte del filtro passa alto. 

Per ultimo la Figura 12, la cui dislocazione geometrica delle bobine e rappresentata in alto a sinistra, mostra sempre le tre curve in modulo e fase: in rosso il modulo della risposta del filtro passa alto in condizioni di idealità, seguono i moduli in arancio e verde, rispettivamente le fasi: grigio, blu e verde chiaro. Questa volta la geometria spaziale dei due induttori agevola il concatenamento del flusso disperso, inoltre è possibile notare come invertendo i sensi di percorrenza della corrente da A verso B o da B verso A si abbiano rispettivamente la coppia di curve verde-verde chiaro e arancio-blu rispettivamente, il colpevole di ciò? La variazione del coefficiente M in funzione del verso di percorrenza della corrente. 

Conclusione

Si sono messi in luce i concetti chiave manifesti nel fenomeno del crosstalk fra induttori, portando alla luce aspetti celati all’interno di concetti fisici di non proprio facile digeribilità. E’ chiaro che nel processo attuativo, ovvero quando si sta per realizzare ad esempio un crossover, non bisognerà tenere un conto della sola ortogonalità fra gli induttori più o meno vicini, ma, come mostrato dalla Figura 11 anche del verso di percorrenza delle correnti fra gli induttori. 

<--- il vero comportamento dell'induttore