Calcolo e comprensione del fenomeno fisico della lunghezza d’onda. Idee più chiare grazie all’ausilio di un po’ di matematica e fisica e di un comodo calcolatore che permetterà la conversione da lunghezza d'onda a frequenza e viceversa.

Argomento semplice, ma abbastanza “barboso” da affrontare se si ricorre al rigore matematico che governa il fenomeno fisico. Proveremo a fare chiarezza sulla lunghezza d’onda e le grandezze da essa derivate. Vedremo nel dettaglio come varia la velocità del suono al variare della temperatura e dei materiali in cui si propaga. Applicando una comoda formula si potrà convertire la grandezza della lunghezza d'onda alla frequenza e viceversa. Si andrà a calcolare la velocità del suono al variare della temperatura, il tutto verrà implementato in un comodo calcolatore che svolgerà tale "oneroso" compito.

Non è mia intenzione appesantire troppo l'argomento, ma per completezza e chiarezza è opportuno introdurre qualche equazione fondamentale e spiegare, in termini matematici cos'è un'onda. Questo ci permetterà di comprendere il perché di alcune formule, il loro significato fisico, e più di ogni altra cosa ciò che ci sta dietro ad ognuna di esse.

Cominciamo con il definire un'onda:

Per onda si definisce una qualsiasi perturbazione, impulsiva o periodica, che ha origine da una sorgente e si propaga in un mezzo con una ben definita velocità. Poiché le onde sonore sono onde meccaniche, hanno bisogno di un mezzo per potersi propagare al contrario di un'onda elettromagnetica che non ha bisogno di un mezzo ma viaggia nell'etere.

Le onde meccaniche sono generate da una sorgente che andrà a generare una vibrazione, mettendo in movimento le molecole del corpo perturbato. Un esempio classico è il perturbare una corda bloccata ad una estremità. Sebbene l’onda meccanica si propaghi in un mezzo non si ha trasporto netto di materia: gli atomi o le molecole del mezzo vengono posti in movimento ed oscillano attorno a delle posizioni di equilibrio. L’onda trasporta invece quantità di moto ed energia.

In maniera generica un'onda non è altro che la perturbazione della condizione di equilibrio di un campo. Tale campo definisce una qualsiasi grandezza fisica in ogni istante per ciascun punto dello spazio. Alcuni esempi di fenomeni fisici descrivibili come campi possono essere: la temperatura o la pressione. Formalizzando in maniera matematica tali campi, possiamo introdurre delle funzioni le cui variabili indipendenti saranno appunto le coordinate ed il tempo.

Descriviamo la perturbazione del campo con una funzione delle coordinate spaziali x, y, z, e del tempo t: ξ(x,y,z,,t). Tale funzione può essere periodica, oppure impulsiva. Consideriamo per semplicità un’onda che si propaghi solo in una direzione (x): dunque ξ(x,t) descrive il ‘profilo’ dell’onda. Ad un istante fissato t e nel punto di ascissa x, il campo ha il valore ξ(x₁, t₁). Se l’onda si propaga nel verso positivo dell’asse delle x (onda progressiva), ad un istante successivo t₂>t1 (Figura 1) ritroveremo il valore ξ₁  in una posizione tale per cui: x₂=x₁+v(t₂-t₁). Se dunque dev’essere ξ₁=ξ(x₂, t₂) occorre che l’argomento della funzione sia del tipo: x-vt. Infatti in questo caso: ξ(x₂, t₂)=ξ[x₁+ v(t₂-t₁)-vt₂] ritroviamo il valore ξ₁ all’istante t₂ in corrispondenza ad un valore dell’ascissa spostato verso destra, come ci si aspetta.

Propagazione di un'onda avanti all'istante di tempo t2 maggiore di t1

[ Figura 1 ]

Il concetto sopra esposta potrebbe risultare anti intuitivo, ma in realtà, le cose vanno proprio così. Provando a spiegare in maniera ancora più semplice: se l'onda che si sta propagando, la si considera all'istante iniziale, quindi a x₁ , t₁ ad una certa ampiezza, essa manterrà la propria ampiezza anche ad un'istante t₂>t₁. Come? L'argomento della funzione ξ deve rimanere invariato ovvero:

x₂-vt₂=x₁-vt₁    segue   x₂=x₁ + v(t₂-t₁)

Tale equazione rappresenta il moto rettilineo lungo lasse x ad una certa velocità. Sostituendo all'interno della pancia della ξ(x₂ , t₂) la x₂, considerando che l'argomento della ξ(x₂, t₂) per un'onda che si propaga in avanti è uguale a: x-vt, otterremo: ξ(x₂ , t₂)=ξ[x₁+ v(t₂-t₁)-vt₂]. Ad un tempo t₂ maggiore di t₁, ad un'ascissa differente, troveremo l'onda traslata in avanti che manterrà la sua ampiezza. Si ragiona in maniera del tutto analoga per un onda che si propaga all'indietro ξ(x+vt).

Il caso semplice sopra esposto rappresentava un’onda che si propaga nel verso positivo delle x o nel verso negativo in dipendenza del segno all'interno dell'argomento. Il caso esposto, come detto inizialmente, è un caso semplice (e particolare) di onde piane.

Le funzioni che rappresentano il fenomeno fisico non sono altro che soluzioni particolari di un’equazione madre, l'equazione delle onde o equazione di d'Alembert. Nel caso più generale avremo che essa è uguale a: 

Equazione differenziale, lineare omogenea.

Le precedenti funzioni ξ non sono altro che particolari soluzioni della seguente equazione:

Come si può notare è un particolare caso della precedente, e viene detta equazione delle onde piane. Una delle possibili soluzioni è proprio: ξ(x+vt), ξ(x-vt).

Onde armoniche: Un particolare tipo di onda piana derivata dall'equazione di d'Alambert

Consideriamo un particolare tipo di onda piana, l'onda armonica.

ξ₀ è detta ampiezza dell’onda; la costante k è necessaria per ragioni dimensionali (l’argomento di una funzione trigonometrica non può avere dimensioni in metri ma in radianti), è l’inverso di una lunghezza ed è detta numero d’onda. Possiamo trovarlo anche all'interno dell'argomento delle funzioni trigonometriche.

Inserendo k all'interno dell'argomento del seno e del coseno si otterrà l'argomento: (kx-kvt).

Dove kv=ω, pulsazione dell'onda armonica.

Le precedenti funzioni si spostano rigidamente lungo l'asse x con una velocità pari a v=ω/k. Fissando il valore di t, ad un ben preciso istante temporale, per esempio t₀, avremo che l'unica variabile "libera" è la x, ξ(x,t₀). Si ottiene in tal modo il valore di ξ(x,t₀) al variare di x per un istante iniziale fissato. Si tratta di una sinusoide nella variabile x, essa si ripete in maniera uguale ogni 2π per ogni coppia di punti consecutivi aventi coordinate x₁, x₂ tali che k(x₂-x₁)=2π. La differenza fra x₂-x₁ non e altro che λ, il periodo metrico.

Lunghezza d'onda periodo metrico

Avremo dunque:

Se volessimo definire la lunghezza d'onda potremmo dire che essa non è altro che il periodo spaziale dell'onda. Mentre invece il numero d'onda è uguale al numero di lunghezze d'onda contenuto in una distanza di 2π metri. Se invece di fissare un istante temporale fissiamo la posizione x=x₀ avremo che la funzione che definisce un'onda varierà solo nel tempo. Trattandosi di un seno e di un coseno avremo lo stesso valore d'ampiezza in due istanti differenti t₁ e t₂ tali che ω(t₂-t₁)=2π, dove (t₂-t₁)=T. Abbiamo trovato il periodo temporale dell'onda.

Avremo dunque:

T=2π/ω

Considerando le relazioni precedenti:

ω=kv

sostituendo alla precedente: k=2π/λ ed ω=2π/T otterremo:

λ=vT

Ricordando che 1/T=f otteniamo:

λf=v    segue    f=v/λ    avremo ancora    λ=v/f

Abbiamo ottenuto, finalmente, il legame fra la lunghezza d'onda la frequenza e la velocità dell'onda. Su quest'ultima formula è basato il calcolatore di seguito. Come è possibile notare nel calcolatore è inserita anche la temperatura, grandezza da cui dipende la lunghezza d'onda per mezzo della velocità che cambia in dipendenza della temperatura.

v=331,2 + 0,6t [m/s]

Dove:

t= temperatura in gradi centigradi.

Ad una temperatura di 20° abbiamo che la velocità del suono in aria è di circa 343,2m/s. Consideriamo tale temperatura di riferimento per fare un esempio. Data una lunghezza d'onda di 0,6 m calcoliamo la frequenza corrispondente. Basta applicare la formuletta precedente f=v/λ segue che la f=572Hz. La stessa procedura viene adoperata dal calcolatore per effettuare la conversione:

Calcolatore Lunghezza d'onda-frequenza

La velocità di propagazione del suono nell’aria (supposta come gas perfetto) si ricava dalla formula:

p = pressione

k = modulo di compressibilità adiabatica dell’aria

ρ = massa specifica

Nel caso di mezzi di trasmissione liquidi, la velocità si ottiene mediante la formula:

k = modulo di compressibilità adiabatica

ρ = densità del liquido

Nei solidi:

E = modulo di elasticità del solido

Dall’osservazione di queste formule si deduce che il suono si propaga più velocemente nei solidi che nell’aria; nel mattone ad esempio è undici volte maggiore di quella dell’aria.

Dando un'occhiata alla tabella 1, si evince che la velocità del suono è maggiore nei solidi che nell'aria. Al contrario di ciò che  generalmente viene detto, la velocità del suono non è più elevata in un mezzo ad alta densità, come evidenziato dalle formule precedenti la densità sta al denominatore dunque, all'aumentare di quest'ultima la velocità andrà a diminuire.  E’ il modulo di elasticità del materiale che è direttamente proporzionale alla velocità a giocare un ruolo fondamentale in termini di velocità.

Confrontando aria con acqua: la densità fra di esse è molto diversa (per un fattore circa 1000), ma anche le costanti elastiche sono diverse (per un fattore circa 10000). L'aria si può comprimere anche a mano, senza eccessivo sforzo, mentre l'acqua ha una bassissima comprimibilità. Lo stesso dicasi per acqua e ferro. La velocità del suono nel solido è più elevata perché, anche se è vero che il solido ha maggiore densità, la sua rigidità, in proporzione, è molto maggiore rispetto a quella dell'acqua.